Алгебра 2 года назад hadsonhornet0087

2. Решите уравнение с помощью универсальной тригонометрической подстановки: ​

Дополнительные материалы:
Ответ
2
NNNLLL54

Ответ:

Универсальная тригонометрическая подстановка :

\displaystyle \bf t=tg\dfrac{x}{2}\ \ \Rightarrow \ \ \ sinx=\frac{2t}{1+t^2}\ \ ,\ \ \ cosx=\frac{1-t^2}{1+t^2}  

Решить уравнение .  

\displaystyle \bf cosx+tg^2\frac{x}{2}=1\\\\t=tg\frac{x}{2}\ \ ,\ \ \ \frac{1-t^2}{1+t^2}+t^2=1\ \ ,\ \ \ \frac{1-t^2+t^2+t^4}{1+t^2}=1\ \ ,\\\\\\1+t^4=1+t^2\ \ \ ,\ \ \ t^4-t^2=0\ \ \ ,\ \ \ t^2\, (t-1)(t+1)=0\ \ ,\\\\t_1=0\ ,\ \ t_2=-1\ \ ,\ \ t_3=1                      

Вернёмся к старой переменной .

\displaystyle \bf a)\ \ tg\frac{x}{2}=0\ \ ,\ \ \frac{x}{2}=\pi n\ \ \ ,\ \ \ x=2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z\\\\b)\ \ tg\frac{x}{2}=-1\ \ ,\ \ \ \frac{x}{2}=-\frac{\pi }{4}+\pi n\ \ ,\ \ x=\frac{\pi }{2}+2\pi n\ \ ,\ \ \n\in Z\\\\c)\ \ tg\frac{x}{2}=1\ \ ,\ \ \ \frac{x}{2}=-\frac{\pi }{4}+\pi n\ \ ,\ \ \ x=-\frac{\pi }{2}+2\pi n\ \ ,\ \ n\in Z            

Серии решений b) и с) можно объединить и записать :

\bf x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z          

Ответ:  \bf x=2\pi n\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{2}+\pi n\ \ ,\ \ n\in Z   .        

Дополнительные материалы:
Предыдущий вопрос
Следующий вопрос