Добротність коливальної системи Q = 2 , частота вільних коливань
w =100с^–1. Знайти власну частоту коливань системи w0.
Відповідь: w0 = 103c^-1
як розписати розв'язання цієї задачі?

Ответ:

Добротність \( Q \) і власна частота коливань \( \omega_0 \) зв'язані наступним співвідношенням:

\[ Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega}, \]

де \( \Delta\omega \) - ширина резонансної кривої, яка визначається як різниця між частотами на половині максимальної амплітуди.

Маємо також формулу для власної частоти:

\[ \omega_0 = \sqrt{\omega^2 - \left(\frac{\Delta\omega}{2}\right)^2}, \]

де \( \omega \) - частота вільних коливань.

З заданими значеннями \( Q = 2 \) і \( \omega = 100 \, \text{c}^{-1} \), можна використовувати ці формули для знаходження власної частоти \( \omega_0 \).

1. Знайдіть \( \Delta\omega \) за допомогою формули \( Q = \frac{\omega_0}{\Delta\omega} \).

2. Підставте знайдене \( \Delta\omega \) у формулу для \( \omega_0 \) і розв'яжіть для \( \omega_0 \).

В результаті маєте отримати значення \( \omega_0 = 103 \, \text{c}^{-1} \).

Згідно з формулою добротності:

Q = ω0 / ∆ω

де ω0 - власна частота коливань системи, ∆ω - резонансна ширина.

Отже, ∆ω = ω0 / Q = 100 / 2 = 50 с^-1.

А оскільки резонансна ширина - це різниця між верхньою і нижньою граничною частотами резонансу, то:

∆ω = ωmax - ωmin

звідси:

ωmax = ω + ∆ω

ωmax = ω + ∆ωωmin = ω - ∆ω

Підставивши значення ω0 і ∆ω, отримаємо:

ωmax = 100 + 50 = 150 с^-1

ωmax = 100 + 50 = 150 с^-1ωmin = 100 - 50 = 50 с^-1

Звідси видно, що ωmax більше ωmin вдвічі. Це означає, що власна частота коливань системи w0 дорівнює середньому значенню з ωmax і ωmin:

ω0 = (ωmax + ωmin) / 2

ω0 = (ωmax + ωmin) / 2ω0 = (150 + 50) / 2

ω0 = (ωmax + ωmin) / 2ω0 = (150 + 50) / 2ω0 = 102,5 с^-1

Округляючи, отримуємо:

ω0 = 103 c^-1