Навколо рівностороннього трикутника описане коло. Знайдіть: 1) периметр трикутника, якщо довжина кола дорівнює 4/3л см; 2) довжину кола, якщо периметр трикутника дорівнює 9 см.
Відповідь:
Для вирішення цих завдань використаємо властивості рівностороннього трикутника та описаного навколо нього кола.
### 1) Знайдення периметру трикутника:
Рівносторонній трикутник має всі сторони однакової довжини. Позначимо довжину сторони трикутника як \(a\). Тоді периметр трикутника можна знайти за формулою:
\[P = 3a\]
Оскільки описане коло має довжину дуги, яка дорівнює \(4/3\) довжини кола (оскільки повний обхід кола дорівнює \(2\pi r\), а дуга відповідає трикратній довжині сторони трикутника):
\[4/3 \cdot a = 2\pi r\]
Звідси ми можемо виразити \(a\) через \(r\):
\[a = \frac{3}{2\pi} \cdot r\]
Тепер можемо виразити периметр трикутника через радіус описаного кола:
\[P = 3 \cdot \frac{3}{2\pi} \cdot r = \frac{9}{2\pi} \cdot r\]
### 2) Знайдення довжини кола:
Знаємо, що периметр трикутника дорівнює 9 см. Позначимо довжину сторони трикутника як \(a\). Тоді:
\[P = 3a = 9\]
Виразимо \(a\) через \(P\):
\[a = \frac{9}{3} = 3\]
Тепер маємо довжину сторони трикутника. Вже раніше ми виразили радіус описаного кола через \(a\):
\[a = \frac{3}{2\pi} \cdot r\]
Підставимо значення \(a\):
\[3 = \frac{3}{2\pi} \cdot r\]
Розв'яжемо рівняння відносно \(r\):
\[r = \frac{2\pi}{3}\]
Тепер можемо знайти довжину кола за формулою:
\[L = 2\pi r\]
\[L = 2\pi \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi^2}{3}\]
Отже, відповіді:
1) Периметр трикутника \(P = \frac{9}{2\pi} \cdot r\)
2) Довжина кола \(L = \frac{4\pi^2}{3}\)