Математика 2 года назад reygen

Решите только 2-ю задачу

Дополнительные материалы:

Ответ

yugolovin

Ответ:

Доказано требуемое.

Пошаговое объяснение:

Замена $1+\sqrt{x}=a > 0; \ 1+\sqrt{y}=b > 0.$ На самом деле $a > 1;\ b > 1,$ но нам это не потребуется. Неравенство превращается в

$\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}\ge\dfrac{2}{(a-1)^2+(b-1)^2+2}\Leftrightarrow \dfrac{a^2+b^2}{a^2b^2}\ge\dfrac{2}{(a-1)^2+(b-1)^2+2}\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow(a^2+b^2)((a-1)^2+(b-1)^2+2)\ge2a^2b^2\Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow a^4+b^4-2a^3-2b^3-2a^2b-2ab^2+4a^2+4b^2\ge 0.$

Докажем, что $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$ (напомню, что $a\ge 0;\ b\ge 0).$ В самом деле, $a^3+b^3-a^2b-ab^2=a^2(a-b)+b^2(b-a)=(a^2-b^2)(a-b)=(a-b)^2(a+b)\ge 0.$

Поэтому

$a^4+b^4-2a^3-2b^3-2a^2b-2ab^2+4a^2+4b^2\ge a^4+b^4-4a^3-4b^3+4a^2+4b^2=$

$=(a^2-2a)^2+(b^2-2b)^2\ge 0.$

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос