Математика 6 дней назад e44508658

В романе Роальда Даля «Матильда» мальчика по имени Брюс Богтроттер поймали на краже торта из учительской. Директор пытается наказать его на глазах у всей школы, заставив съесть 18-дюймовый торт.
Вид торта сверху показан ниже:

Диаметр торта 18см. Брюс начал с сегмента торта ABC. OC равен 7 дюймам и перпендикулярен AB. Какой процент от первоначального торта составляет эта часть?​

Дополнительные материалы:
Ответ
12
reygen

Ответ:  D) 6%

Пошаговое объяснение:

d = 18 д ⇒ r  =  9 д

Поскольку  r = OB = AO ,  то  ΔAOB  является равнобедренным ⇒ высота  OC является и биссектрисой и медианой ,  а  это значит что

BC = AC  ⇒ AB = BC + AC = 2AC

Рассмотрим  прямоугольный  ΔAOC

С помощью  теоремы Пифагора находим  OC

OC² + AC²  = OA²

7²  +   AC²  = 9²

AC =  4√2

AB  =  2AC = 8√2

Чтобы найти площадь сегмента   ABC , нам нужно знать величину площади сектора  AOB ,  а для этого мы должны найти  ∠AOB

Найдем площадь  ΔAOB  по формуле

S = \dfrac{1}{2}ah

*~S_{ AOB} =  \dfrac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8\sqrt{2}  = 28 \sqrt{2}

Теперь   воспользуемся  другой формулой для нахождения площади треугольника

S = \dfrac{1}{2}ab \cdot \sin \alpha

В нашем случае

a = b = r = 9  ,   α = ∠AOB

** ~S_{AOB} = \dfrac{1}{2} \cdot 9 \cdot 9 \cdot  \sin \angle AOB= \dfrac{81}{2} \cdot \sin \angle AOB

Приравняем    *   и  **

28 \sqrt{2} =\dfrac{81}{2} \cdot \sin   \angle AOB  \\\\ \sin  \angle AOB = \dfrac{56\sqrt{2} }{81 } \\\\ \angle AOB = \arcsin\bigg ( \dfrac{56\sqrt{2} }{81 } \bigg) \approx 80^{\circ}

Находим площадь  сектора  AOB

S = \dfrac{\pi r^2}{360 } \cdot \alpha  = \dfrac{81\pi}{360}\cdot 80^{\circ} = 18 \pi

Находим площадь сегмента

Sсегмента = Sсектора - SΔAOB

S_{\rm CE\Gamma}= 18\pi  -  28 \sqrt{2}

Находим какую часть от площади круга , составляет площадь сегмента

\omega =\dfrac{S_{\rm CE\Gamma}}{S_{\rm KP}}\cdot100\%  = \dfrac{18 \pi  -28 \sqrt{2} }{81 \pi }   \cdot 100 \%\approx 6,6 \%

Ближе всего к данному  результату ответ    D)6%

e44508658: спасибо большое!!!
moonsunn: боже, ты меня выручил!!!!
merei09g: спасибо