Геометрия 2 года назад Lalalalalallalladjdk


2. В треугольнике ABC BC = a, AC = b, AB = с. Докажите, что если
{a}^{2} = bc + b {}^{2}
то угол A=2углаB​

Ответ
1
Natasha344

Ответ:

Применим теорему косинусов для двух углов:

a^2 = b^2 + c^2 - 2cos(A)bc\\b^2 = a^2+c^2 - 2cos(B)ac\\

Из данной в условии формулы:

a^2 = bc + b^2\\a^2-bc = b^2(*)\\a^2 - b^2 = bc (**)

Подставим выражение (*) в обе теоремы косинусов:

\left \{ {{bc = c^2 - 2cos(A)bc} \atop {0=bc+c^2-2cos(B)ac}} \right. \\\left \{ {{b = c - 2cos(A)b} \atop {0=b+c-2cos(B)a}} \right.\\{cos(B) = \frac{b+c}{2a} } \\cos(A) = \frac{c-b}{2a} }

Так как нам известно, каким именно образом должны относиться друг к другу углы (А в 2 раза больше),  применим формулу косинуса двойного угла для проверки.

cos(2x) = 2cos^2(x)-1\\2(\frac{b+c}{2a} )^2-1=\\=\frac{(b+c)^2}{2a^2}-1=\\=\frac{b^2 + 2bc +c^2 -2a^2}{2a^2}

Подставим выражение (**)

\frac{c^2-b^2}{2bc+2b^2}=\\=\frac{ (c-b)(c+b) }{2b(c+b)}=\\=\frac{c-b}{2b}

А это и есть полученый ранее косинус. Значит наше предположение было верно. чтд

Lalalalalallalladjdk: спасибо!
dankook: antonovm, А можете пожалуйста поподробнее расписать снова? И помочь мне ещё с одной задачкой https://znanija.com/task/43626840
Ответ
1
antonovm

Ответ:

Решение для остроугольного треугольника ( для тупоугольного треугольника  решение будет аналогичным )

Объяснение:

Дополнительные материалы:
Lalalalalallalladjdk: спасибо!
Предыдущий вопрос
Следующий вопрос