докажите что слова вязать и вязкий не являются однокоренными

Вязать носки, свитер, узлы → действие: плести что-то крючком или на спицах; завязывать что-либо.

Вязкий воздух; вязкое болото, вязкая жидкость → тягучий, клейкий, густой, тяжёлый (о воздухе).

Хоть данные слова имеют одинаковый корень ВЯЗ, но у них разное лексическое значение, поэтому они не являются однокоренными.