Алгебра 20 дней назад razumovaA

Для функции y=x^{3} -12x+1
найти:
1)Промежутки возрастания и убывания
2)Экстремумы
3)Наибольшее и наименьшее значение на промежутке \left[-1;1 ]

ЗА ПОЛНОЕ ПОДРОБНОЕ РЕШЕНИЕ 100 БАЛЛОВ!!!

solving05: Ну 100 баллов вы не дали, начнем с этого...
razumovaA: продолжим тем,что дала
Ответ
1
orjabinina

Объяснение:

у=х³-12х+1. Область определения х-любое.

1)Промежутки возрастания и убывания.

Найдем производную функции  у'=(х³-12х+1)'=3х²-12=3(х²-4)=3(х-2)(х+2).

Критические точки х=2,х=-2 , при у'=0.

Если производная функции y=f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X, т.е. у'>0.

3(х-2)(х+2)>0  или   (х-2)(х+2) >0  

++++++++++(-2)-----------(+2)++++++++ ,   х∈(-∞;-2) и (2;+∞) .

Т.к. функция определена и непрерывна при любом х, то можно включит концы отрезка х∈(-∞;-2]  и [2;+∞)

Если производная функции y=f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X, т.е. у'<0.

Используя схему выше ⇒ х∈[-2;2]  .

2)Экстремумы.

Точка х₀-точка максимума , если производная меняет свой знак с +на -.

Точка х₀- точка минимума , если производная меняет свой знак с - на +.

у'          +                                 -                         +

-----------------------(-2)---------------------------(+2)---------------

у     возр           max            убыв         min         возр

х=-2 точка максимума , у(-2)=(-2)³-12*(-2)+1=-8+24+1=17.

х=2  точка минимума  ,   у(2)=2³-12*2+1=8-24+1=-15.

3)Наибольшее и наименьшее значение на промежутке  [-1;1] .

Наибольшее наименьшее значение функции достигается в точках экстремума или на концах отрезка.      

-2∉ [-1;1] , 2∉ [-1;1] .

у(-1)=-1+12+1=12  наибольшее значение функции  на промежутке  [-1;1] .

у(1)=1-12+1=-10  наименьшее значение функции  на промежутке  [-1;1] .