Алгебра 2 года назад Diego

При каких натуральных значениях n многочлен 1+x^2+x^4+...+x^2n разделится на многочлен 1+x+x^2+...+x^n

Ответ

chech

При делении получится некоторый многочлен степени n:

$<var>\frac{1+x^2+x^4+...+x^{2n}}{1+x+x^2+...+x^n}=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n</var>$

Избавимся от знаменателя:

$<var>(1+x^2+x^4+...+x^{2n})=(1+x+x^2+...+x^n)(a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n)</var>$

Раскроем скобки в правой части:

$<var>a_0(1+x+x^2+...+x^n)+a_1x(1+x+x^2+...+x^n)+ a_2x^2(1+x+x^2+...+x^n)+...+ a_nx^n(1+x+x^2+...+x^n)</var>=$

$<var>a_0+(a_0+a_1)x+(a_0+a_1+a_2)x^2+...+(a_0+a_1+a_2+...+a_n)x^n+(a_1+a_2+...+a_n)x^{n+1}+(a_2+...+a_n)x^{n+2}+...+a_nx^{2n}</var>$

Коэффициенты при нечётных степенях должны быть равны нулю, а коэффициенты при чётных степенях должны быть равны 1:

a_0=1

a_0+a_1=0

a_0+a_1+a_2=1

...

$<var>a_0+a_1+a_2+...+a_n=1</var>$ , при чётном n

$<var>a_0+a_1+a_2+...+a_n=0</var>$ , при нечётном n

...

a_n=1

Отсюда получаем, что $<var>a_1=-1</var>$ , $<var>a_2=1</var>$ , $<var>a_3=-1</var>$ , $<var>a_4=1</var>$ , и так далее, коэффициенты с нечётными индексами равны -1, а коэффициенты с чётными индексами равны 1.

Так как a_n=1, то очевидно, что n должно быть чётным, при этом при любом чётном n будут существовать корректные наборы коэффициентов a_i.

Ответ: при любом чётном n.

Предыдущий вопрос

Следующий вопрос