В параллелограмме ABCD биссектриса острого угла C пересекает сторону AD в точке M, а продолжение стороны AB в точке K, KM : MC = 2: 3. Найдите стороны параллелограмма ABCD, если его периметр равен 48 см.

Ответ:

9 см, 15 см

Объяснение:

ABCD -  параллелограмм,

АВ = CD = a

AD = BC = b

Pabcd = 2(a + b) = 48 cм

a + b = 24                                    (1)

∠2 = ∠1 так как CM биссектриса,

∠2 = ∠3 как накрест лежащие при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей CM, значит

∠1 = ∠3 и значит ΔCDM равнобедренный с основанием CM.

CD = DM = а,  ⇒  MA = b - a.

ΔKMA ~ ΔKCB по двум углам (∠K - общий, ∠KMA = ∠KCB как соответственные при пересечении параллельных прямых AD и ВС секущей KC), следовательно

KM : MC = 2 : 3,   ⇒   KM : KC = 2 : 5

5(b - a) = 2b

5b - 5a - 2b = 0

3b - 5a = 0

С учетом уравнения (1) получаем систему уравнений:

  |+

AB = 9 см

ВС = 15 см