Алгебра 2 года назад Diego

Решите совокупность неравенств:

$<var>x^4+6x^3+7x^2\geq6(x+4)}</var>$

$<var>\frac{x-1}{2x+1}\geq\sqrt{\frac{x-1}{2x+1}}+6*\sqrt[4]{\frac{x-1}{2x+1}}</var>$

Ответ

vajny

Решим сначала второе неравенство:

Сделаем замену переменной:

$<var>t=\sqrt[4]{\frac{x-1}{2x+1}},\ \ \ \ t\geq0</var>$

Тогда получим следующее неравенство:

$<var>t^4-t^2-6t\geq0,\ \ \ \ t(t-2)(t^2+2t+3)\geq0,\ \ \ \ t\geq2.</var>$

Неравенство решено с учетом неотрицательности t. Теперь имеем:

$<var>\sqrt[4]{\frac{x-1}{2x+1}}\geq2,\ \ \ \frac{x-1}{2x+1}\geq16,\ \ \ \ \frac{31x+17}{2x+1}\leq0.</var>$

(+) (-) (+)

------------------(-17/31)\\\\\\\\\\\\(-1/2)----------------

Итак решением данного неравенства является область: $<var>[-\frac{17}{31},\ -\frac{1}{2}).</var>$

Теперь обратимся к первому неравенству:

$<var>x^2(x^2+6x+7)\geq6(x+4).</var>$

Или в виде многочлена:

$<var>x^4+6x^3+7x^2-6x-24\geq0.</var>$

Многочлен в левой части не имеет целых корней. Перебором возможных целых чисел находим области, в которых содержатся корни. Это области:

(-5; -4) и (1;2). Далее методом последовательных приближений находим приближенные значения корней: -4,4 и 1,4

(+) (-) (+)

/////////////////(-4,4)-------------(1,4)/////////////

Решением совокупности неравенств является объединение (а не пересечение) областей:

(-беск; -4,4] v [-17/31;-1/2) v [1,4; беск) (числа -4,4 и 1,4 - приближенные)