Алгебра 2 года назад broo

1) Докажите, что при любом натуральном n число 27^2n+16^n+85^n кратно 11

2) При каких значениях параметра а уравнение

(a+1)x^2-(2a+5)x+a=0

имеет два действительных корня, больших -1?

3)Вычислите:

[(sqrt(1-sin^2(153))+sqrt(tg^2(207)-sin^2(207)]sin(63*)

Ответ

vajny

1. Будем доказывать методом математической индукции.

Проверяем истинность утверждения при n = 1:

а) 2*49 + 16 + 40 = 154 = 11*14 - делится на 11.

б) Предположим, что 2*7^(2k) + 16^k +8*5^k - делится на 11. Где k - произвольное натуральное число.

в) Докажем, что тогда при n = k+1 полученное выражение - тоже делится на 11:

$<var>2*7^{2k+2}+16^{k+1}+8*5^{k+1}=49*(2*7^{2k})+16*16^k+5*(8*5^k)=</var>$

$<var>5(2*7^k+16^k+8*5^k)+(44*(2*7^{2k})+11*16^k)</var>$

Теперь четко видно что оба больших слагаемых делятся на 11:

первое - исходя из предположения, второе - имеет 11 как общий сомножитель для своих слагаемых.

Итак мы доказали , что если при произвольном n= k выражение делится на 11, то и при n = k+1 выражение делится на 11.

Значит исходное выражение делится на 11. что и требовалось доказать.

2) $<var>(a+1)x^2-(2a+5)x+a=0,\ \ \ \ D=4a^2+20a+25-4a^2-4a=16a+25</var>$

D>0 a>-25/16 a>-1,5625

$<var>x_{1}=\frac{2a+5+\sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1</var>$

$<var>x_{2}=\frac{2a+5-\sqrt{16a+25}}{2(a+1)}>-1 </var>$

Разбиваем ОДЗ на две части:

а) (-1; беск)

$<var>2a+5+\sqrt{16a+25}>-2a-2</var>$

$<var>2a+5-\sqrt{16a+25}>-2a-2</var>$

$<var>\sqrt{16a+25}>-4a-7</var>$

$<var>\sqrt{16a+25}<4a+7</var>$

Первое из написанных неравенств верно. Проверим второе:

16a+25<16a^2+56a+49 $<var>16a+25<16a^2+56a+49,\ \ \ \ 16a^2+40a+24>0,\ \ D=64</var>$

Корни -1; -1,5 Решение с учетом ОДЗ: (-1; беск)

б) (-1,5625; -1)

$<var>{2a+5+\sqrt{16a+25}}<-2a-2</var>$

$<var>2a+5-\sqrt{16a+25}<-2a-2</var>$

$<var>\sqrt{16a+25}<-4a-7</var>$

Правая чать на выбранной области - отрицательна, что недопустимо. Здесь решений нет.

Ответ: (-1; бескон).

$<var>[\sqrt{1-sin^2153}+\sqrt{tg^2207-sin^2207}]sin63=[-cos153+\frac{sin^2207}{-cos207}]sin63</var>$

$<var>=[sin63+\frac{cos^263}{sin63}]sin63=sin^263+cos^263=1</var>$

Ответ: 1

Предыдущий вопрос