Биссектрисы двух углов треугольника пересекаются
под углом 110◦. Найдите третий угол треугольника.

Нужно знать:

1. Биссектриса угла треугольника - это часть луча, выходящего из вершины угла треугольника, которая делит угол пополам.

2. Сумма углов треугольника равна 180°.

См. рисунок.

Т. к. биссектрисы двух углов треугольника пересекаются под углом 110°, то сумма половинок этих углов будет равна 180°- 110° = 70°.

Значит, сумма двух углов треугольника равна 70° · 2 = 140°, тогда третий угол треугольника равен 180° - 140° = 40°.

Ответ: 40°.

Чертёж смотрите во вложении.

Дано:

ΔАВС.

Отрезок АЕ - биссектриса ∠А.

Отрезок СО - биссектриса ∠С.

Точка D - точка пересечения СО и АЕ.

∠ADC = 110°.

Найти:

∠В = ?

Решение:

Пусть ∠С = 2х, а ∠А = 2у.

Тогда ∠ОСВ = ∠ОСА = х ; ∠ВАЕ = ∠ЕАС = у (по определению биссектрисы угла треугольника).

Рассмотрим ΔADC.

∠ADC и ∠ODA - смежные, а сумма смежных углов равна 180°.

Следовательно -

∠ADC+∠ODA = 180°

∠ODA = 180°-∠ADC

∠ODA = 180°-110°

∠ODA = 70°.

∠ODA - внешний для ΔADC.

Внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов треугольника не смежных с ним.

То есть -

∠ОСА+∠ЕАС = ∠ODA

х+у = 70° |* 2

2х+2у = 140°.

Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

Следовательно -

∠С+∠А+∠В = 180°

2х+2у+∠В = 180°

140°+∠В = 180°

∠В = 180°-140°

∠В = 40°.

Ответ:

40°.