Математика 2 года назад VillasBoas

1. Найти сумму ряда:

3-1/3+3/2-1/6+3/4-1/12+...

2. Исследовать сходимость рядов на основании необходимого и достаточных признаков:

а) $<var>\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{n^2}</var>$

б) $<var>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt[]{n(n+1)}</var>$

в) $<var>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{n+1}}{{n!}</var>$

г) $<var>\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n+1)^{n}}{{n!}</var>$

3. Определить тип уравнения и найти его частное решение:

$<var>x^{2}(y+1)dx+(x^{3}-1)(y-1)dy=0</var>$

y(2)=1

Дополнительные материалы:

Ответ

vajny

1. Сумма ряда состоит из разности сумм двух беконечно убывающих геометр. прогрессий:

3 + 3/2 + 3/4 +.... b1 = 3, q = 1/2 S1 = b1/(1-q) = 6

1/3 + 1/6 + 1/12 + ....b1 = 1/3, q = 1/2 S2 = b1/(1-q) = 2/3

S = S1 - S2 = 6 - 2/3 = 16/3.

Ответ: 16/3.

а) ряд расходится, так как не выполнено необходимое условие сходимости.

an не стремится к 0 при n стремящемся к бесконечности.

б) Воспользуемся признаком сравнения:

1/кор[n(n+1)] больше 1/(n+1) И так как гармонический ряд с аn = 1/(n+1) - расходится, то и расходится заданный ряд.

в) По признаку Даламбера

$<var>\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{e}{n+1}=0</var>$

Ряд сходится.

г) Проверим необходимое условие:

$<var>\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^n}{n!}=\infty\</var>$

Следовательно ряд расходится.

3. Линейное уравнение в полных дифференциалах. Решается методом разделения переменных и последующего интегрирования:

$<var>\frac{x^2dx}{x^3-1}=-\frac{(y-1)dy}{y+1}. \frac{1}{3}\ln(x^3-1) = 2\ln(y+1)-y+C</var>$

Или:

$<var>\ln(x^3-1) = 6\ln(y+1)-3y+C</var>$

Это решение в виде функции заданной в неявном виде. Найдем С из начального условия:

у(2)=1

$<var>C = \ln7-6\ln2+3.</var>$

Тогда ответ:

$<var>\ln(x^3-1)=6lny-3y+(ln7-6ln2+3)</var>$

Предыдущий вопрос